Gleichungssysteme

Im den Themenfeldern Gleichungen - Einführung und Gleichungen - Ergänzungen haben Sie gesehen, wie eine einzelne Bedingung zur Bestimmung des Wertes einer unbekannten Grösse (Variable) verwendet wird, indem man die entsprechende Gleichung nach dieser Variablen auflöst.

Falls gleichzeitig mehrere Unbekannte zu bestimmen sind, müssen entsprechend auch mehrere Gleichungen vorhanden sein, die man dann in ihrer Gesamtheit als ein Gleichungssystem bezeichnet.
Bei m vorhandenen Gleichungen und n zu bestimmenden Variablen sprechen wir auch von einem mxn-System.

Erste Beispiele

Beispiel 1

\( \left\{ \begin{array}{c} x + \large \frac{y}{3} \normalsize = 11 \\ \large \frac{x}{4} \normalsize + y = 11\; \end{array} \right. \qquad \qquad \) 2x2-System

Beispiel 2

\(\left\{ \begin{array}{c} 300c + f = 4000\\500c + f = 6400 \end{array} \right. \qquad \qquad \) 2x2-System

Zu den ersten beiden Beispielen finden Sie hier auch den konkreten Kontext (Problemstellung).

Beispiel 3

\(\left\{ \begin{array}{c}{x^2} + 2{y^2} = 33\\3x - 2y = 11 \end{array} \right. \qquad \qquad \) 2x2-System

Beispiel 4

\( \left\{ \begin{array}{c}2u + 4v - 5w = 21\\4u + 3v + 4w = - 1\\u - 3v - 4w = - 1.5\end{array} \right. \qquad \qquad \) 3x3-System

 

Lösungen

Eine Lösung eines Gleichungssystems muss alle Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen.
Beachten Sie auch, dass eine solche Lösung nun nicht mehr (wie bei Gleichungen mit einer Unbekannten) ein einzelner Wert ist, sondern aus einer ganzen Gruppe von Werten besteht. Es handelt sich also bei einer Lösung um ein Wertepaar (im Fall zweier Unbekannter), und allgemein um ein "Wertetupel".

Im Beispiel 1:

Das Wertepaar  \(x = 8\), \(y = 9 \;\) erfüllt beide Gleichungen, ist also Lösung des Systems.
L={(8,9)}

Im Beispiel 4:

Das Wertetupel   \(u = -0.5\), \(v = 3\), \(w=-2\; \) erfüllt beide Gleichungen, ist also Lösung des Systems.
L={(-0.5, 3, -2)}

 

Lineare und nicht-lineare Systeme

Bei den oben vorgestellten Gleichungssystemen 1,2 und 4 handelt es sich um lineare Systeme, während das System 3 nicht-linear ist.
"Linear" bedeutet, dass die Gleichungsterme Linearkombinationen der zu bestimmenden Variablen sind, also Summen von Vielfachen dieser Variablen.

Die Linearitätseigenschaft eines Systems entscheidet wesentlich darüber, welche Auflösungsstrategie zum Finden seiner Lösung(en) zur Anwendung kommt.

Im Folgenden werden zunächst am Spezialfall von linearen 2x2-Systemen drei wichtige Auflösungsmethoden ausführlich behandelt:

  • Einsetzungsmethode
  • Gleichsetzungsmethode
  • Additionsmethode

Alle drei Methoden verfolgen auf unterschiedliche Weise ein gemeinsames Ziel: Eine der beiden Unbekannten soll aus dem System eliminiert werden, um so eine einzelne Gleichung mit nur noch einer Variablen zu erhalten. Diese Gleichung lässt sich dann mit den auf der Themenseite Gleichungen vorgestellten Methoden auflösen, womit die erste Variable bestimmt ist. Die zweite Variable ergibt sich danach typischerweise durch geeignetes Einsetzen.

Die betrachteten Methoden lassen sich teilweise auch im nicht-linearen Fall und auch für Systeme mit mehr als zwei Unbekannten anwenden. Diese beiden Aspekte werden jedoch erst später in separaten Abschnitten behandelt.

Einsetzungsmethode

Prinzip:

Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf und setze den gefundenen Term in die andere Gleichung ein. Die "ersetzte" Variable fällt so weg.

Im Beispiel 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}\;x + \large \frac{y}{3} \normalsize = 11 \\ \large \frac{x}{4} \normalsize + y = 11\;\end{array} \right. \qquad \qquad \)

Erste Gleichung \(x + \large \frac{y}{3} \normalsize = 11\) wird nach x aufgelöst:

\(x = 11 - \large \frac{y}{3}\)

Einsetzen in zweite Gleichung \( \large \frac{x}{4} \normalsize + y = 11\):

\( \large \frac{{11 - \frac{y}{3}}} {4} \normalsize + y = 11\)

Nach Multiplikation mit 4 ergibt sich daraus:

\( \begin{eqnarray} 11 - \frac{y}{3} + 4y &=& 44\quad &| \cdot 3 \\ 33 - y + 12y &=& 132\quad &| - 33 \\ 11y &=& 99\quad &|\;:11 \\ y &=& 9 \end{eqnarray} \)

Nun noch das gefundene y in die aufgelöste Gleichung \(x = 11 -\large \frac{y}{3}\) einsetzen:

\(x = 11 - \large \frac{9}{3} \normalsize = 8\)

Die Lösung des Systems lautet somit:  \( \quad x = 8\) , \(y = 9\)

Optional: weiteres Beispiel zur Einsetzungsmethode.

Gleichsetzungsmethode

Prinzip:

Löse beide Gleichungen nach derselben Unbekannten auf und setze die beiden Terme gleich. Die "gleichgesetzte" Variable fällt so weg.

Im Beispiel 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}300c + f = 4000\\500c + f = 6400 \end{array} \right.\)

Erste Gleichung \(300c + f = 4000\) wird nach f aufgelöst:\(\quad \; f = 4000 - 300c\)
Zweite Gleichung \(500c + f = 6400\) wird nach f aufgelöst: \( \; f = 6400 - 500c\)

Gleichsetzen der rechten Seiten:

\( \begin{eqnarray} 4000 - 300c &=& 6400 - 500c\quad &|\;+ 500c - 4000 \\ 200c &=& 2400\quad &|\;:200\\ c &=& 12 \end{eqnarray}\)

Nun noch das gefundene c in eine der nach f aufgelösten Gleichungen einsetzen (z.B. \(f = 4000 - 300c\)):

\(f = 4000 - 3600 = 400\)

Die Lösung des Systems lautet somit: \(c = 12\), \(f = 400\)

Optional: weiteres Beispiel zur Gleichsetzungsmethode.

 

Additionsmethode

Prinzip:

Multipliziere (wenn nötig) eine oder beide Gleichungen so mit geeigneten Zahlen, dass vor einer der Unbekannten in beiden Gleichungen dieselbe Zahl steht, einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen.
Addiere dann die beiden Gleichungen, was dazu führt, dass die entsprechende Variable wegfällt.

Beispiel 5

\( \left\{\begin{array}{c}5x + 2y = - 4\\ - 4x + y = 11\end{array} \right.\)

Wenn man die zweite Gleichung mit (-2) multipliziert, so entsteht (durch Ersetzen der "alten" Gleichung mit der neuen, dazu äquivalenten) das neue System

\( \left\{\begin{array}{c}5x + 2y = - 4\\8x - 2y = - 22 \end{array} \right. \)

Addition der beiden Gleichungen liefert eine neue Gleichung für die allein verbleibende Variable x (die Variable y ist dagegen weggefallen, was ja das Ziel der vorherigen Multiplikation war); diese kann leicht nach x aufgelöst werden:

\( \begin{eqnarray} 13x &=& - 26\quad |\;:13\\x &=& - 2 \end{eqnarray}\)

Um y zu erhalten, verwenden wir eine der ursprünglichen Gleichungen (egal welche) und setzen ein:

\(\begin{eqnarray} 5x + 2y &=& - 4\\ - 10 + 2y &=& - 4\quad |\; + 10\\y &=& 3 \end{eqnarray}\)

Die Lösung des Systems lautet somit:  \( x=- 2 \;,\;y = 3\)

Bemerkungen:

  • Statt mit (-2) zu multiplizieren und zu addieren, hätte man natürlich auch mit +2 multiplizieren und danach subtrahieren können. Beispielsweise liesse sich im Beispiel 2 die Variable f durch eine simple Subtraktion (ohne vorherige Multiplikation) eliminieren. Erfahrungsgemäss ist aber die Addition fürs Handrechnen etwas weniger fehleranfällig (besonders, wenn negative Vorzeichen oder Operationszeichen in den Gleichungen auftreten).
  • Es gibt auch Fälle, wo es sinnvoll ist, beide Gleichungen vorgängig geeignet zu multiplizieren.
    Siehe dazu das zusätzliche Beispiel.

Grundsätzlich sind zum Auflösen linearer 2x2-Systeme immer alle drei vorgestellten Methoden anwendbar. Eine besondere Struktur der vorhandenen Gleichungen kann allerdings dazu führen, dass sich eine davon besonders einfach durchführen lässt.

Lösbarkeit linearer Systeme

In allen bisher betrachteten Beispielen von linearen 2x2-Systemen gab es genau eine Lösung; dies ist der Normalfall.

Es sind aber auch folgende Spezialfälle möglich:
- das System besitzt keine Lösung
- das System besitzt unendlich viele Lösungen.

Weil sich eine Gleichung mit zwei Variablen auch als eine Geradengleichung verstehen lässt (vgl. dazu das Themenfeld Funktionen), kann man die Lösung eines linearen 2x2-Systems grafisch als Schnittpunkt zweier Geraden auffassen. Wenn sich die beiden Geraden schneiden, gibt es genau eine Lösung; in den beiden genannten Spezialfällen handelt es sich dagegen um den Fall paralleler Geraden (keine Lösung) oder zusammenfallender Geraden (unendlich viele Lösungen).

Rechnerisch zeigt sich ein Spezialfall, indem bei Elimination nicht nur die beabsichtigte, sondern auch die zweite Variable wegfällt.

Beispiel 6

\( \left\{\;\begin{eqnarray}2x - y &=& - 2\\ - 4x + 2y &=& 4 \end{eqnarray} \right.\)

Wenn man - in der Absicht, z.B. y zu eliminieren - die erste Gleichung mit 2 multipliziert, so entsteht das neue System

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}4x - 2y &=& -4\\-4x + 2y &=& 4 \end{eqnarray} \right. \)

Bei der Addition der beiden Gleichungen fällt nun nicht nur y, sondern auch x weg; es entsteht die "allgemeingültige" Gleichung

\(0=0\)

Dies bedeutet, dass beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge haben (was man ja schon nach der Multiplikation deutlich sieht, weil identische Terme dastehen). Somit besteht die Lösungsmenge aus allen Wertepaaren, welche die Gleichung \(2x-y=-2\) erfüllen.

Das System hat also unendlich viele Lösungen.

Bemerkung: Im Fall "keine Lösung" entsteht dagegen eine "unmögliche" Gleichung wie zum Beispiel \(\;0=2\,\).

Nicht-lineare Systeme

Bei nicht-linearen Gleichungen können Potenzen und Produkte der Variablen vorhanden sein. Es ist deshalb eher unwahrscheinlich, dass die Elimination einer Variablen mittels Addition geeignet multiplizierter Gleichungen gelingt. Auch die Gleichsetzungsmethode ist oft problematisch, da sich dafür alle Gleichungen nach einer bestimmten Variablen auflösen lassen müssten.

Erste Wahl bei nicht-linearen Gleichungssystemen ist deshalb die Einsetzungsmethode.

Im Beispiel 3:

\( \;\left\{ \begin{array}{rl} \;{x^2} + 2{y^2} = 33\\3x -2y = 11 \end{array} \right. \)

Die zweite Gleichung (die ja linear ist), lässt sich einfach nach y auflösen:

\( \begin{eqnarray} 3x - 2y = 11\quad &|\, - 3x \\- 2y = 11 - 3x\quad &|\,:( - 2) \\ y = - 5.5 + 1.5x \end{eqnarray}\)

Einsetzen in die erste Gleichung:

\( {x^2} + 2 \cdot {( - 5.5 + 1.5x)^2} = 33 \)

Mit Hilfe der Binomischen Formeln lässt sich der linke Term vereinfachen:

\(\begin{eqnarray}{x^2} + 2 \cdot (30.25 - 16.5x + 2.25{x^2}) &=& 33\\{x^2} + 60.5 - 33x + 4.5{x^2} &=& 33 \\5.5{x^2} - 33x + 27.5 &=& 0 \end{eqnarray}\)

Damit haben wir eine quadratische Gleichung für x, welche sich mit der Auflösungsformel (siehe Themenfeld Gleichungen - Einführung) lösen lässt:

\({x_{1\,,2}} = \large \frac{{33 \pm \sqrt {{{( - 33)}^2} - 4 \cdot 5.5 \cdot 27.5} }}{{2 \cdot 5.5}} = \frac{{33 \pm \sqrt {484} }}{{11}} = \frac{{33 \pm 22}}{{11}}\)

Somit gibt es zwei Lösungen für x:

\({x_1} = 5 \quad {x_2} = 1\)

Zu jedem der beiden Werte gibt es einen "Partner" y, den man durch Einsetzen in die oben aufgelöste Gleichung \(y = - 5.5 + 1.5x\) erhält:

\({y_1} = - 5.5 + 1.5 \cdot 5 = 2\)

\({y_2} = - 5.5 + 1.5 \cdot 1 = - 4\)

Das nicht-lineare System hat also zwei Lösungen:

\(L = \left\{ {(5,2);(1\,, - 4)} \right\}\)

Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten

Wenn mehr als zwei Gleichungen und Unbekannte vorhanden sind, bleibt das grundsätzliche Vorgehen das Gleiche: Es wird versucht, durch (schrittweise) Elimination von Variablen ein immer einfacheres Gleichungssystem zu erhalten.

Beispiel 7

Lineares 3x3-System:

\(\left\{ \begin{array}{c} 2x + y + 4z = - 2\\ - x - 2y + z = - 5\\3x - 8y - 7z = 23 \end{array} \right. \qquad\) (*)

Multiplizieren Sie z.B. die erste Gleichung mit 2 und addieren Sie das Ergebnis zur zweiten Gleichung:

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 2y + 8z = - 4}\\ {- x - 2y + z = - 5}\end{array}} \right. \;\begin{array}{*{20}{c}} + \\ + \end{array} \quad \rightarrow \quad 3x + 9z = - 9\)

Natürlich benötigen wir noch eine zweite Gleichung, da aus dieser ersten alleine x und z nicht bestimmt werden können. Sicher muss dabei die dritte Gleichung einbezogen werden; wichtig ist aber auch, dass nun auch hier y eliminiert wird (und nicht etwa x oder z, selbst wenn dies einfacher wäre).

Addieren Sie z.B. das (-4)-fache der zweiten Gleichung zur dritten:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 8y - 4z = 20}\\{3x - 8y -7z = 23}\end{array}} \right. \;\begin{array}{*{20}{c}} + \\ + \end{array} \quad \rightarrow \quad 7x - 11z = 43\)

Entstanden ist damit ein lineares 2x2-System für x und z:

\( \left\{ \begin{array}{c} 3x + 9z = - 9\\7x - 11z = 43 \end{array} \right. \qquad\) (**)

Multiplikation der ersten Gleichung mit 11 und der zweiten mit 9 führt dazu, dass durch Addition auch noch z eliminiert werden kann:

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{33x + 99z = - 99}\\{63x - 99z = 387}\end{array}} \right. \;\begin{array}{*{20}{c}} + \\ + \end{array} \quad \rightarrow \quad 96x = 288 \rightarrow \quad x = 3\)

Durch Einsetzen von x in eine der Gleichungen des Systems (**) erhalten Sie zunächst z:

z.B. in Gleichung 1: \(9 + 9z = - 9 \quad \rightarrow \quad z = - 2\)

Und schliesslich werden beide bereits gefundenen Werte in Gleichung 1 aus (*) eingesetzt:

\(6 + y - 8 = - 2\quad \rightarrow \quad y = 0\)

Das System hat die Lösung

\(L = \left\{ {(3,0, - 2)} \right\}\)

Wie Sie sehen, ist der Auflösungsprozess recht aufwendig geworden. Je mehr Unbekannte zu bestimmen sind, desto unübersichtlicher wird der Vorgang, und desto grösser wird die Gefahr, "im Kreis herum zu rechnen", d.h. die Informationen nicht systematisch genug zu verarbeiten.

Der gebräuchliche Ansatz, diese Systematik zu garantieren, stammt von Carl Friedrich Gauss. Dieses entsprechend als Gauss-Elimination bekannte Verfahren kann fürs Handrechnen hilfreich sein, ist aber vor allem wichtig, weil es rechnergestützte Verfahren ermöglicht.

Im Rahmen des Moduls Mathematische Grundlagen(vgl. Kurs MAT01) werden lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten noch weiter behandelt werden.

1)

Lösen Sie die folgenden linearen 2x2-Systeme; wählen Sie dabei möglichst ein Verfahren, welches im konkreten Fall rechnerisch nicht allzu aufwendig ist:

a)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}2x -3y &=& 5 \\ x + 2y &=& 6 \end{eqnarray} \right.\)

b)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}7x &=& -3y+1 \\ 7x &=& 2y-3 \end{eqnarray} \right.\)

c)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}0.3x + 0.4y &=& 0.5\\ 0.7x +1.1y &=& 1.6 \end{eqnarray} \right.\)

d)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}6x + 5y &=& - 6\\ y &=& 3 - 4x \end{eqnarray} \right.\)

e)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}8x -5y &=& 5.5 \\ - x + y &=& 1 \end{eqnarray} \right.\)

f)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}2x - 3y &=& 10\\ 7x + 2y &=& 2.5 \end{eqnarray} \right.\)

Lösungen

 

2)

Lösen Sie die folgenden nicht-linearen Systeme:

a)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray} {x^2} - 2y &=& 0 \\ x + y &=& 4 \end{eqnarray} \right.\)

b)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray} x + 2y &=& 2\\ xy - y &=& -3 \end{eqnarray} \right.\)

Lösungen

 

3)

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit drei Unbekannten:

a)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray} x +4y-5z &=& 21 \\ 2x +3y+4z &=& -1 \\ x-6y-8z&=&-3 \end{eqnarray} \right.\)

b)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}3x+2y-8z &=& -5 \\ -x+2z &=& 3 \\ x+ y-5z &=& 7 \end{eqnarray} \right.\)

Lösungen

 

4)

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme.
Bevor Sie eine der Variablen eliminieren können, müssen Sie das System allerdings noch etwas umformen bzw. die Gleichungen vereinfachen.

a)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray} \frac {x-y}{4}- \frac {3(y-2)}{7} &=& 2 \\ \frac {x - y}{x+y} &=& 2 \end{eqnarray} \right.\)

b)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}x(y+1) &=&(x+1)(y-2) \\ \frac {x + y}{2} &=& 2x+1 \end{eqnarray} \right.\)

c)

\( \left\{ \; \begin{eqnarray} \frac {x-1}{y} &=&2 \\{x^2}-y &=& 2 \end{eqnarray} \right.\)

 

Lösungen

 

 

Theorieseiten mit Erklärungen und Beispielen finden Sie unter:

Einführung und Beispiele (Stefan Gärtner, Düsseldorf)

Einführung und Übungen (Franz Philipp, Schattdorf)

 

Weitere Übungsaufgaben finden Sie unter:

vwv.at: Verschiedene Auflösungsverfahren üben, Lösbarkeit

Brabandt: Übungsaufgaben (Additionsverfahren, Vermischtes)

Mathe-Trainer: Übungsaufgaben mit 2 Unbekannten

Mathe-Trainer: Übungsaufgaben mit 3 Unbekannten

 

Rechner zum Lösen linearer Gleichungssysteme:

Solver von Arndt-Brünner (mit Kommentaren zum Lösungsweg mittels Gauss-Elimination)